Teoria dos Conjuntos

 

 

Axiomas de Zermelo-Fraenkel

 

  

1. Axioma da extensão (extensionalidade)

 

Se X e Y têm os mesmos elementos, então  X=Y

 

2. Axioma do Par (Emparelhamento)

 

Para qualquer a ou b existe um conjunto {a,b} que contem exactamente a e b

 

3. Axioma do Esquema de Separação

 

Se P é uma propriedade (com o parâmetro p) então para qualquer X e p existe um conjunto  Y = { u∑ X : P(u,p)} que contem todos aqueles u que existem em X  e  que têm a propriedade de P

 

4. Axioma da União

 

Para cada X existe um conjunto Y= U X, ou seja, a união de todos os elementos constituintes de X.

 

5. Axioma do Poder de P

 

Para cada X existe um conjunto Y=P(X), o conjunto de todos os subconjuntos de X

 

6. Axioma da Infinitude

 

Existe um conjunto infinito.

 

7. Axioma do Esquema de substituição

 

Se a classe F é uma função, então para cada X existe um conjunto Y=F(X)={F(x): x € X}

 

8. Axioma da Regularidade

 

Todo o conjunto não vazio tem um € - mínimo elemento.

 

9. Axioma da Escolha

 

Todas as famílias de conjuntos não vazios tem uma função à escolha

 

Um conjunto é uma colecção de objectos ou números considerado em si mesmo uma entidade.

 

Se quisermos definir um conjunto tal como ele se apresenta intuitivamente, então seremos tentados a dizer que um conjunto é a colecção de todos os elementos que satisfazem uma certa qualidade. Por outras palavras, poderemos ser tentados a postular a seguinte regra de formação de conjuntos:

 

10. Axioma do Esquema de Compreensão  (falso)

 

Se P é uma propriedade, então tem de existir um conjunto Y={x : P(x)}

 

Este princípio, no entanto, é falso, ou seja, foi posto em causa pelo paradoxo de Russell

 

11. Paradoxo de Russell

 

Considere-se o conjunto S cujos elementos são todos aqueles (e só aqueles) conjuntos que não são membros de si próprios: S={X:X não pertence a X}

 

Questão: S é membro de si mesmo? Se S é elemento de S, então não é um membro de si próprio. Mas, se S não é membro de S, então S é membro de si próprio.

 

Este paradoxo obrigou os lógicos modernos a rever a definição intuitiva, e clássica, do conjunto…

 

É aqui, de facto, que a lógica matemática desconfia e põe de lado a visão clássica dos géneros e espécies, ou seja, dos conjuntos em que o todo define as partes. Para a lógica actual, os conjuntos são definidos pelas partes, agrupadas por critérios acidentais ou emergentes da junção das partes. Para a lógica clássica, são as qualidades próprias dos entes que, ficando manifestas perante o intelecto, conduzem à enunciação do conjunto.

 

Talvez caiba aqui dizer que a Lógica clássica interpretava um universo de elementos essencialmente naturais e os conceitos ou categorias filosóficas eram conjuntos emanados dessa esfera vivencial. O estudo do microcosmos, do espaço sideral e do espaço mental da lógica matemática alargou essa esfera a dimensões distintas e com entidades diferentes, que deixam, ou até exigem, outras ordens de axiomática, com princípios cuja verdade não pode estar sujeita aos universos clássicos.  

 

No esquema de Zermelo-FranKael o paradoxo de Russell reside, não no esquema da Compreensão, mas na noção de “conjunto de todos os conjuntos”. Devemos, então, recorrer à “expressão fraca” do esquema de Compreensão que é o Esquema da Separação (Axioma 3). 

 No entanto, fica patente a força do Idealismo, uma vez que a noção “conjunto de todos os conjuntos” é o que se poderá chamar a instância concreta da Ideia de “conjunto”, ou a sua essência. E se a lógica moderna pretende lidar com consistência com os conjuntos vazios e os conjuntos infinitos, deixando definitivamente os limites da lógica clássica finitista, neste caso será exercício interessante aceitar a noção de “conjunto vazio” para “o conjunto de todos os conjuntos”) e conceber a forma de não cair também no paradoxo da total inexistência de conjuntos.

 

Os conjuntos são normalmente simbolizados por maiúscula, em itálico e negrito, por letras como A,B, ou Z.

Cada número ou objecto de um conjunto é designado membro ou elemento do conjunto. Exemplos: o conjunto de todos os veículos automóveis de Lisboa, o conjunto de todas as peras de uma pereira, o conjunto de todos os números irracionais compreendidos entre 9 e 10.

Os elementos de um conjunto podem ser enumerados e, nesse caso, é costume usar as chavetas para delimitar a lista. Por exemplo, podemos referir o conjunto B dos números naturais incluídos entre 4 e 8 da seguinte forma:

B = {4,5,6,7,8}

Um conjunto pode ser constituído por um qualquer número de elementos, desde nenhum (o conjunto vazio ou nulo) até a um número infinito. Chama-se cardinalidade do conjunto o número de elementos que o constituem. A cardinalidade pode variar entre zero e infinito numerável (para os conjuntos compostos por números naturais, inteiros ou números racionais) ou de zero a infinito não numerável (para os conjuntos de números irracionais, números reais, números imaginários e números complexos).

Algumas das mais básicas relações na teoria dos conjuntos podem ser sintetizadas da seguinte forma:

  • Um conjunto A1 é um subconjunto do conjunto A se, e só se, todos e cada um dos elementos de A1 forem também elementos de A,
  • Um conjunto A1 é um subconjunto próprio do conjunto A se, e só se, todos e cada um dos elementos de A1 forem também elementos de A, mas A terá alguns elementos que não são elementos de A1
  • A intersecção de dois conjuntos, A e B é o conjunto C de todos os elementos c, sendo que c está contido em A e em B.
  • A união de dois conjuntos A e B é o conjunto C de todos os elementos c, sendo que c está contido em A, ou c está contido em B, ou em ambos.

Para ilustrar graficamente relações entre conjuntos pode utilizar-se um esquema específico de representação chamado um “diagrama de Venn”. Este diagrama é composto, essencialmente, por dois círculos, com os quais se representam as relações entre conjuntos

 

Símbolos usados mais frequentemente

  є   “é elemento do conjunto…”   “…não é elemento do conjunto…” …é um subconjunto próprio de …” C   “…é um subconjunto de …”      “… não é  um subconjunto de …”        “…é o conjunto vazio …”   “ intersecção de…”          U “ união de…"                                 “…é um conjunto equivalente a…”

Exemplos: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

                               A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {0, 1, 2, 3, 4}

 

As afirmações 1) a 5) são todas verdadeiras:

 

1) 2 A                 2 é um elemento de A

2) 3 A                  3 não é um elemento de A

3) A U                 A é um subconjunto próprio de U

4) A B                  A não é um subconjunto de B

5) A B                  A é equivalente a B, ambos os

                               conjuntos têm 5 elementos

 

A B = {0, 2, 4}   todos os elementos de A e B (o que

                               os conjuntos têm em comum)

 

A B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8}    todos os elementos em A

                                                ou B (combinação de

                                                todos os elementos dos

                                                conjuntos, sem

                                                repetições)

 

A teoria dos conjuntos não é apenas relevante para as matemáticas e seus académicos. Ela é, progressivamente, cada vez mais importante na engenharia de software, especialmente na área da Inteligência Artificial.

 

 

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