nota breve sobre

A Teoria dos Conjuntos

A Teoria dos Conjuntos é um tema mais propriamente matemático, que filosófico. Mas é inegável que toda a Matemática assenta em lógica e princípios meta-matemáticos que dificilmente se diferenciam de certos temas filosóficos.

Sem pretender percorrer todas as ramificações dos temas matemáticos nem alcançar a extraordinária especialização de alguns deles, o que exigiria um domínio das linguagens simbólicas só possível com o estudo e a prática diária, durante muitos anos, não podemos deixar de tentar olhar para as raízes e o tronco comum em que essas ramificações nasceram, dada a curiosidade que nos impele para além das justas reservas ditadas pela humildade de quem tem noção da sua ignorância.

Há, porém, boas razões para dar asas à curiosidade... Desde sempre se soube (ou não tivesse sido o "matemático" Pitágoras o primeiro dos filósofos)) que o pensamento só tem a ganhar com a prática da resolução dos problemas matemáticos, que proporciona um excelente exercício de adestramento intelectual. Acresce que alguns temas matemáticos são matéria intelectual suficiente para cogitar uma vida inteira e a progressiva compreensão dos seus elementos parece fonte de intenso gozo intelectual, lendo as convincentes descrições e testemunhos que já muitos nos deixaram registados nos seus escritos...

O Prof. Andrew Wiles, por exemplo, procurou durante vários anos encontrar a demonstração para o "Último Teorema de Fermat", demonstração que permaneceu oculta por trezentos anos. Ele descreve assim como se processa o desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos:

"Talvez a melhor forma de descrever a minha experiência de fazer matemática seja a de usar a imagem de uma ampla mansão que se encontra totalmente às escuras. Entramos no primeiro quarto e está escuro, muito escuro. Começamos lentamente a andar, batendo aqui e ali nos móveis e tropeçando neles. Gradualmente, identificamos o lugar de cada móvel. Talvez seis meses depois, encontramos o interruptor e acendemos as luzes  Subitamente, fica tudo às claras, e vemos exactamente onde estamos, e vemos aquilo que nos rodeia. Depois, entramos no quarto escuro seguinte..."

Um diagrama de Venn é uma forma de ilustrar relações entre conjuntos. Embora seja simples definir um conjunto como "um grupo de objectos que têm algo em comum", não é difícil de perceber que, afinal, a noção de conjunto tem sido tema de discussão desde a Lógica de Aristotéles até ás Matemáticas mais recentes. Associado a esta noção estará um modelo axiomático, ou regras estruturantes de um sistema de lógica. Esse mesmo "conjunto de axiomas" (que dá a definição do que é um conjunto...) foi objecto de profunda análise...  Faz lembrar o jogo das "caixas chinesas"...


Um dos Autores que já trouxemos a este sítio, Kurt Godel, conseguiu  fazer afirmações "revolucionárias" sobre as características desse conjunto, o sistema axiomático. Mas já outro autor, Cantor, havia também deslumbrado com o seu "Paraíso dos Conjuntos Infinitos". Enfim, a filosofia da Teoria dos Conjuntos é um tema vivo e, para alguns, apaixonante.  

Geralmente, os Diagramas de Venn são usados para descrever intersecções entre conjuntos. A intersecção é uma das relações possíveis entre conjuntos, e costuma representar-se com a inversão da letra U, seja em matemática teórica, seja nas ciências ou em trabalhos de engenharia, de informática ou de estatística.

O diagrama abaixo exemplifica a relação entre três conjuntos que se sobrepõem. A intersecção equivale, normalmente, ao termo lógico AND, podendo definir-se da seguinte forma: a intersecção de dois conjuntos é o conjunto que contém os elementos comuns a ambos os conjuntos. Por exemplo, a intersecção do conjunto de 5 elementos {1, 3, 5, 7, 9} e do conjunto de 4 elementos {1, 4, 9, 16} é o conjunto de 2 elementos {1, 9}. Portanto, qualquer elemento da intersecção terá de ser membro de todos os conjuntos interseccionados.

Os diagramas de Venn desenham-se sobre um rectângulo que abarca todo o diagrama e que representa o universo em causa, ou seja, o conjunto de todos os indivíduos em consideração.Diagrama de Venn

Neste exemplo, esse universo é o rectângulo maior e todos os indivíduos que não são membros dos conjuntos cuja intersecção pretendemos representar são denotados com os pontos em cor cinzenta. Os pontos pertencentes apenas ao conjunto X são azul turquesa, os pontos exclusivos do conjunto Y estão em magenta, os pontos só do conjunto Z são amarelos.

Os pontos comuns a X e Y, mas não a Z, estão em azul, enquanto que os pontos resultantes da intersecção de Y e Z, mas não X, são vermelhos. Os pontos comuns a a X e Z, mas não a Y, estão em verde. Os pontos comuns aos três conjuntos estão a negro.

Vejamos um exemplo prático... O universo será o conjunto de todas as viaturas em Portugal. O conjunto X representa todos os monovolumes existentes nesse universo. O conjunto Y representa todos as viaturas a gasolina super, e o conjunto Z representa todas as viaturas com ar condicionado.

Assim, um monovolume a gasolina mas sem ar condicionado será um ponto na região azul. Mas se for instalado ar condicionado nessa viatura, passará a integrar o conjunto dos pontos a negro. Se mudar de gasolina para diesel, passará ao conjunto dos pontos em verde.

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